Lineare Algebra Beispiele

x + y + z + t = 4

$x + y + z + t = 4$ ,

2 x - y - z - t = - 1

$2 x - y - z - t = - 1$ ,

x + y - 2 z = 0

$x + y - 2 z = 0$ ,

3 x + 3 t = 6

$3 x + 3 t = 6$

Schritt 1

Ermittle

A X = B

$A X = B$ aus dem Gleichungssystem.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 - 1 & 2 & - 1 & - 1 0 & 1 & 1 & - 2 3 & 3 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ \cdot ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} t x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 - 1 06 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Schritt 2

Finde die Inverse der Koeffizientenmatrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

0

$0$ Elementen. Wenn keine

0

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

4

$4$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + & - - & + & - & + + & - & + & - - & + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.1.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

-

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 2.1.1.3

Die Unterdeterminante für

a_{41}

$a_{41}$ ist die Determinante, wenn Zeile

4

$4$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 2 & - 1 & - 1 1 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.1.4

Multipliziere Element

a_{41}

$a_{41}$ mit seinen Kofaktoren.

- 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 2 & - 1 & - 1 1 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.1.5

Die Unterdeterminante für

a_{42}

$a_{42}$ ist die Determinante, wenn Zeile

4

$4$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.1.6

Multipliziere Element

a_{42}

$a_{42}$ mit seinen Kofaktoren.

3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.1.7

Die Unterdeterminante für

a_{43}

$a_{43}$ ist die Determinante, wenn Zeile

4

$4$ und Spalte

3

$3$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & 2 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.1.8

Multipliziere Element

a_{43}

$a_{43}$ mit seinen Kofaktoren.

0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & 2 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.1.9

Die Unterdeterminante für

a_{44}

$a_{44}$ ist die Determinante, wenn Zeile

4

$4$ und Spalte

4

$4$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & 2 & - 1 0 & 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.1.1.10

Multipliziere Element

a_{44}

$a_{44}$ mit seinen Kofaktoren.

0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & 2 & - 1 0 & 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.1.1.11

Addiere die beiden Ausdrücke.

- 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 2 & - 1 & - 1 1 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & 2 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & 2 & - 1 0 & 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

- 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 2 & - 1 & - 1 1 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & 2 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & 2 & - 1 0 & 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & 2 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

- 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 2 & - 1 & - 1 1 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & 2 & - 1 0 & 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere

0

$0$ mit

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & 2 & - 1 0 & 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$ .

- 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 2 & - 1 & - 1 1 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4

Berechne

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 2 & - 1 & - 1 1 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

0

$0$ Elementen. Wenn keine

0

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

1

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.1.4.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

-

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 2.1.4.1.3

Die Unterdeterminante für

a_{11}

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.4.1.4

Multipliziere Element

a_{11}

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.4.1.5

Die Unterdeterminante für

a_{12}

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.4.1.6

Multipliziere Element

a_{12}

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.4.1.7

Die Unterdeterminante für

a_{13}

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

3

$3$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.1.4.1.8

Multipliziere Element

a_{13}

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.1.4.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

- 3 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

- 3 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

Schritt 2.1.4.2

Berechne

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

- 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.2.1.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 2

$- 2$ .

- 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

- 3 (1 (2 + 1) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 (2 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

- 3 (1 (2 + 1) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

Schritt 2.1.4.2.2.2

Addiere

2

$2$ und

1

$1$ .

- 3 (1 \cdot 3 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

- 3 (1 \cdot 3 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

- 3 (1 \cdot 3 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

Schritt 2.1.4.3

Berechne

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.3.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

- 3 (1 \cdot 3 - 1 (2 \cdot - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (2 \cdot - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.3.2.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 2

$- 2$ .

- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 - 1 \cdot - 1) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4.3.2.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 + 1) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 + 1) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4.3.2.2

Addiere

- 4

$- 4$ und

1

$1$ .

- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4.4

Berechne

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.4.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 \cdot 1 - 1 \cdot - 1)) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 \cdot 1 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.4.2.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 - 1 \cdot - 1)) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4.4.2.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 + 1)) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 + 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 + 1)) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 + 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4.4.2.2

Addiere

2

$2$ und

1

$1$ .

- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.5.1.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

1

$1$ .

- 3 (3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4.5.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 3

$- 3$ .

- 3 (3 + 3 + 1 \cdot 3) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (3 + 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4.5.1.3

Mutltipliziere

3

$3$ mit

1

$1$ .

- 3 (3 + 3 + 3) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (3 + 3 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

- 3 (3 + 3 + 3) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (3 + 3 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4.5.2

Addiere

3

$3$ und

3

$3$ .

- 3 (6 + 3) + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 (6 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.4.5.3

Addiere

6

$6$ und

3

$3$ .

- 3 \cdot 9 + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 \cdot 9 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

- 3 \cdot 9 + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 \cdot 9 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

- 3 \cdot 9 + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$- 3 \cdot 9 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 2.1.5

Berechne

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 - 1 & - 1 & - 1 0 & 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

0

$0$ Elementen. Wenn keine

0

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

1

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.1.5.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

-

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 2.1.5.1.3

Die Unterdeterminante für

a_{11}

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.5.1.4

Multipliziere Element

a_{11}

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.5.1.5

Die Unterdeterminante für

a_{21}

$a_{21}$ ist die Determinante, wenn Zeile

2

$2$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.5.1.6

Multipliziere Element

a_{21}

$a_{21}$ mit seinen Kofaktoren.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.5.1.7

Die Unterdeterminante für

a_{31}

$a_{31}$ ist die Determinante, wenn Zeile

3

$3$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 1 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.1.5.1.8

Multipliziere Element

a_{31}

$a_{31}$ mit seinen Kofaktoren.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 1 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.1.5.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

- 3 \cdot 9 + 3 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 1 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 + 0

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

- 3 \cdot 9 + 3 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 1 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 + 0

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 - 1 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

- 3 \cdot 9 + 3 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 0

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Schritt 2.1.5.3

Berechne

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 & - 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.3.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

- 3 \cdot 9 + 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 0

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Schritt 2.1.5.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.3.2.1.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 2

$- 2$ .

- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 0

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Schritt 2.1.5.3.2.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 + 1) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 0

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Schritt 2.1.5.3.2.2

Addiere

$2$ und

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Schritt 2.1.5.4

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

Schritt 2.1.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.5.4.2.1.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

Schritt 2.1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1) + 0) + 0 + 0$

Schritt 2.1.5.4.2.2

Subtrahiere

$1$ von

$- 2$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

Schritt 2.1.5.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.5.5.1.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

Schritt 2.1.5.5.1.2

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 - 3 + 0) + 0 + 0$

Schritt 2.1.5.5.2

Subtrahiere

$3$ von

$3$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (0 + 0) + 0 + 0$

Schritt 2.1.5.5.3

Addiere

$0$ und

$0$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

Schritt 2.1.6

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.6.1.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$9$ .

$- 27 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

Schritt 2.1.6.1.2

Mutltipliziere

$3$ mit

$0$ .

$- 27 + 0 + 0 + 0$

Schritt 2.1.6.2

Addiere

$- 27$ und

$0$ .

$- 27 + 0 + 0$

Schritt 2.1.6.3

Addiere

$- 27$ und

$0$ .

$- 27 + 0$

Schritt 2.1.6.4

Addiere

$- 27$ und

$0$ .

$- 27$

Schritt 2.2

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 2.3

Stelle eine

$4 \times 8$ Matrix auf, bei der die linke Hälfte die ursprüngliche Matrix und die rechte Hälfte die Einheitsmatrix ist.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.4.1.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Führe die Zeilenumformung

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$4, 1$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 2.4.2.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$4, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.4.3

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.4.3.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.4.4

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$3, 2$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 2.4.4.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$3, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 0 & - 2 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.4.5

Führe die Zeilenumformung

$R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$4, 3$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 2.4.5.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$4, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 \cdot - 2 & - 3 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 2.4.5.2

Vereinfache

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 9 & - 4 & - 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.4.6

Multipliziere jedes Element von

$R_{4}$ mit

$- \frac{1}{9}$ , um den Eintrag in

$4, 4$ mit

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.4.6.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{4}$ mit

$- \frac{1}{9}$ , um den Eintrag in

$4, 4$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 4 & - \frac{1}{9} \cdot - 1 & - \frac{1}{9} \cdot 3 & - \frac{1}{9} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.4.6.2

Vereinfache

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Schritt 2.4.7

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ aus, um den Eintrag in

$3, 4$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.7.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ aus, um den Eintrag in

$3, 4$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{4}{9}) & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{9}) & 1 + 2 (- \frac{1}{3}) & 0 + 2 (- \frac{1}{9}) \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Schritt 2.4.7.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Schritt 2.4.8

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - R_{4}$ aus, um den Eintrag in

$1, 4$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.8.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - R_{4}$ aus, um den Eintrag in

$1, 4$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 1 - \frac{4}{9} & 0 - \frac{1}{9} & 0 + \frac{1}{3} & 0 + \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Schritt 2.4.8.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Schritt 2.4.9

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.9.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{5}{9} - \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} + \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Schritt 2.4.9.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Schritt 2.4.10

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 2.4.10.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 0 - 0 & \frac{1}{3} - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Schritt 2.4.10.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Schritt 2.5

Die rechte Hälfte der normierten Zeilenstufenform ist die Umkehrfunktion.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Matrizengleichung von links mit der inversen Matrix.

$([\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Schritt 4

Jede Matrix multipliziert mit ihrer Inversen ist immer gleich

$1$ .

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere

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Schritt 5.1

Zwei Matrizen können nur dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entspricht. In diesem Fall ist die erste Matrix

$4 \times 4$ und die zweite Matrix ist

$4 \times 1$ .

Schritt 5.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 6 \\ \frac{1}{3} \cdot 4 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 6 \\ \frac{5}{9} \cdot 4 - \frac{1}{9} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{2}{9} \cdot 6 \\ \frac{4}{9} \cdot 4 + \frac{1}{9} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{9} \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 5.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache die linke und rechte Seite.

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 7

Ermittle die Lösung.

$t = 1$

$x = 1$

$y = 1$

$z = 1$